モンティホール問題の条件付確率についてわかりやすく説明してみた

モンティホール問題の条件付確率についてわかりやすく説明してみた

モンティホール問題の条件付確率についてわかりやすく説明してみた

モンティホール問題は勘違いが起きやすい条件付き確率の代表例です。

確率は半々ではなく、箱をチェンジした方がチェンジしない場合よりも当たる確率が2倍高くなります。

どんなに母体数が多くてもハズレが除外され当たりとハズレの箱が1対1になるところが重要です。

モンティホール問題:条件付確率

モンティホール問題とは、アメリカの名司会者モンティ・ホールが、テレビ番組「Let's make a deal」で紹介したゲームにおける確率のパラドクスの事です。

本記事はちょっと趣向を変えて、条件付きの確率の考え方の代表例であるこのモンティホール問題についてご紹介します。

条件付確率とは、本来の確率が特定条件により変動する事を指します。

もちろん小難しい話を述べるつもりはありません。

なぜそのようになるのかが理解できれば嬉しいなという程度ですので、気軽に読んで「へぇ~」と思って頂ければ幸いです。

司会者モンティホールが出した問題

TV番組でのくじ引き形式プレゼント

観客の目の前にA・B・Cの3つの箱が並んでいます。

3つの内1つにだけ当たりである「宝石」が入っており、残りの2つの箱には何も入っていません。

つまり当たりの箱を選べれば中の宝石が手に入る訳ですね。

3つの箱

ここで観客の一人にA・B・Cの箱から1つだけ箱を選んでもらいます。

そこで司会のモンティが残りの箱のうち、何も入っていない箱を1つ開けて除外します。

3つの箱の状態

・観客が最初に選んだ箱
・司会者が選んで除外したハズレの箱
・残った箱

という状態になりますよね。

ここで司会者は観客に、自分が選択した箱と残っている箱のどちらかを選びなおして良いと提案します。

1つが除外され2つ箱が残る

ここでの選択肢は以下の2つ

・最初に選択した箱から変えない
・残った箱に切り替える

この時あなただったらどうするでしょう。どちらを選んだほうが宝石が当たると思いますか?

実はこの時の確率の考え方が、あとあと長く議論がされる問題となりました。

ほとんどの人が勘違いをしてしまうからです。

普通ならばこう考える

確率は「2分の1」

自分が「最初に選択した箱」と司会者に除外されなかった「残りの箱」。

このどちらかに宝石が入っているのだから、その確率は二分の一です。

50%50%なのであれば、どちらを選んでも宝石を取れる確率は同じであると考えます。

精神的な影響も

むしろ残った箱にチェンジして外れだった場合、そのショックが大きいとさえ考えるようですね。

最初から自分が宝石が入った箱を選んでいた訳ですから「変えなければよかった」という後悔が残ります。

それを嫌だと思う人は多いはずです。

確立としては箱をチェンジした方が宝石を当てやすい

しかし実際にはここで「箱をチェンジした方」が、宝石入りの箱を選べる確率が確実に高いのです。

これは数学的・確率的に証明されています。不思議ですよね。

2つの内一つを選ぶのだから確率は50%50%のはずなのに、なぜ箱をチェンジした方が宝石をGETしやすいのでしょうか。

条件付で確率が上がるシチュエーション

ではこの3つの箱のうち一つが宝石が入っている状態をおさらいしてみましょう。

あなたに箱を選んでもらいます。もちろん宝石が入る箱は完全にランダムで操作などはされていません。

3つの箱から宝石入りの箱を選ぶ確率は「3分の1」であり、外れの箱を選択する確率は3分の2となります。

これは当たり前のことですよね。

条件が付与される事で確率が変動する

ここであなたが選択した箱以外から、司会者がハズレの箱を一つ除外する訳です。

そうなると箱としては残り2つとなります。この部分が条件付与による確率変動にあたります。

そのうちどちらかが「宝石入り」となるのですが、ここで箱を選び直す事ができる訳です。

箱をチェンジしない場合:

本来、最初の3つの箱のうち宝石が入った箱を選ぶ確率は「3分の1」ですよね。

ここで自分が選んだ箱をチェンジせずにいくのであれば、司会者に残りの箱から1つ除外されても箱を選び直さないので、気にする必要がないのです。

つまりABCのうち宝石入りの箱を当てる当初のシンプルな確率と何ら変わりがない事を示します。

司会者に箱を除外されるアクションに惑わされますが、最初に選択した箱を変えないのであれば「除外されなかった事と同じ」なのです。

つまり条件付確率が発生しない事を意味します。

変えない場合の確率

最初から選択した箱を変えない=宝石入りの箱を取る確率は「3分の1」

このポイントを忘れてはいけません。

箱をチェンジする場合:

では箱をチェンジする場合はどうでしょうか。今回は3つの箱しかないので全てのパターンを検証してみます。

選択する箱の数が100個だろうと1000個だろうと同じ確率計算になる事を忘れてはいけません。

宝石入りの箱が「A」の場合

もしあなたが最初から宝石の入っている箱「A」を選んでいたとします。

この時司会者はBかCの箱を除外する事になります(どちらにするかは司会者の好みです)。

司会者による除外アクション

・Bが除外されてAとCだけ残る
or
・Cが除外されてAとBだけ残る

そうすると残るのはいずれも宝石が入っていないBかCの箱のパターンです。

あなたは必ず箱を選びなおす訳ですから、宝石の入った箱Aから別の箱にしなければなりません。

・B or Cへ変更する(ハズレ)

つまりこのケースでは箱をチェンジする事で確実に宝石をGETできなくなる訳ですね。

宝石入りの箱が「B」の場合

もしあなたが宝石の入っていない箱「A」を選んでいたとします。宝石入りの箱はBです。

この時司会者は無条件にCを除外する事になります。

そうすると残るのは自分が選択したAの箱と宝石入りのBの箱です。

あなたは必ず箱を選びなおす訳ですから、Bの箱に変えて宝石をGETできる訳ですね。

宝石入りの箱が「C」の場合

もしあなたが宝石の入っていない箱「A」を選んでいたとします。宝石入りの箱はCです。

この時司会者は無条件にBを除外する事になります。

そうすると残るのは自分が選択したAの箱と宝石入りのCの箱です。

あなたは必ず箱を選びなおす訳ですから、Cの箱に変えて宝石をGETできる訳ですね。

宝石をGETできる確率が3分の2に増える

ではもう一度「箱を選び直さない場合」と「箱を選び直す場合」の確率をおさらいしましょう。

これは司会者が外れの箱を除外するという行為と、選び直しによる条件付確率変動が前提です。

箱を選び直さないパターン

最初から宝石の入った箱を選んだまま=確率3分の1

※この時司会者の除外行動の影響は受けない

箱を選び直すパターン

最初に宝石の入った箱を選んでいれば、選び直しで宝石はGETできない
=確率3分の1

最初に宝石の入っていない箱1を選んでいれば、選び直しで確実に宝石の箱をGETできる
=確率3分の1
+(プラス)
最初に宝石の入っていない箱2を選んでいれば、選び直しで確実に宝石の箱をGETできる
=確率3分の1

※箱1・箱2は、宝石の入っていないハズレの箱2つを指しています。

わかりやすくするとこんな感じ

箱A〇・箱B×・箱C× → 箱Aから箱B(箱C)へ変更→ハズレ
箱A×・箱B〇・箱C× → 箱Aから箱Bへ変更→当たり
箱A×・箱B×・箱C〇 → 箱Aから箱Cへ変更→当たり

毎回ハズレ箱が除外される事で当たり箱とハズレ箱が毎回1対1になり、確率変動が起きるためですね。

最初から宝石入りの箱を選んでいた1パターンの場合だけが外れ、最初から選んでいない2パターンの場合は必ず当たります。

選び直した方が確率が高い

つまり箱を選択し直す場合、宝石の入った箱を選ぶ確率は「3分の1+3分の1」で合計3分の2になる事がわかります。

選択した箱から変えなかった場合、宝石の入った箱を選ぶ確率は3分の1のまま(従来のまま)です。

つまり箱を選びなおした方が宝石をGETしやすくなるのです。

母体数を大きくしてみましょう

今回は3つの箱をケースに取っていましたが、数が大きくなればもっとわかりやすくなると思います。

箱が1000個あった場合

1000個の箱から宝石入りの箱を一つ選ぶのであれば、確率は単純に千分の1ですよね。

あなたがまず箱を一つ選択し、残り999個のうち998個を司会者が除外するのです。

あなたはその時残った箱と元々選択した箱のどちらを取るでしょうか。

残った箱が非常に魅力的に見える

司会者によって999個のうち998個の外れ箱が除外されるのですから、残された箱に選び直しをした方が圧倒的に良いように思いますよね。

実際にそうなのです。しかしこれが箱3つの場合はそう考えられないのが人間なのですね。

では先ほど紹介した「箱を選び直すパターン」と「箱を選び直さないパターン」とに照らし合わせて考えてみましょう。

箱を選び直さないパターン

最初から宝石の入った箱を選ばなければならない=千分の1

※この時司会者の除外行動の影響は受けない(998個除外されても)

箱を選び直すパターン

最初に宝石の入った箱を選んでいれば、選び直しで宝石はGETできない
=千分の1

最初に宝石の入っていない箱1番を選んでいれば、選び直しで確実に宝石の箱をGETできる=千分の1
+(プラス)
最初に宝石の入っていない箱2番を選んでいれば、選び直しで確実に宝石の箱をGETできる=千分の1
+(プラス)
最初に宝石の入っていない箱3番を選んでいれば、選び直しで確実に宝石の箱をGETできる=千分の1
+(プラス)

最初に宝石の入っていない箱999番を選んでいれば、選び直しで確実に宝石の箱をGETできる=千分の1

※箱1番・箱2番・箱3番…宝石の入った箱を除いた残りの999個に番号を振っています。

この様に、最初から宝石入りの箱を選んでいた1パターンの場合だけが外れ、最初から選んでいない999パターンの場合は必ず当たります。

つまり箱を選択し直す場合、宝石の入った箱を選ぶ確率は「千分の1+千分の1+…」が999ケース分合計され、千分の999になる事がわかります。

選択した箱から変えなかった場合、宝石の入った箱を選ぶ確率は千分の1のまま(従来のまま)です。

いかがだったでしょうか

このお話のキモは、どんなに母体数が多くてもそれが除外される事で当たりとハズレの箱が1対1になるところです。

母体となる数が多ければ多いほど、残りの箱からハズレの箱を全て除外するという行為は格段に確率を上げます。

最初から選択した箱と除外を免れた箱とでは、背負うものが全然違うのです。

残った箱には重みがある

だってハズレの箱は基本的に取り除かれてしまうのですからね。

最初から当たりの箱を持っていた場合にのみ、ハズレの箱が1個だけ残る訳です。これはほぼ奇跡に近い事です。

これなら感覚的に箱を選択し直した方が良いとわかります。

ただそれが箱が3つだけのように元から当てれる確率が高いほど、人間を迷わせてしまうものなのです。

みなさんもこの様に途中から再選択できるようなシーンがあれば、チョイスし直してみた方が良いかも知れません。

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